Banc de filtres à reconstruction parfaite
et filtres à miroir
Un banc de filtres à reconstruction parfaite décompose un signal par filtrages et sous-échantillonnages.
Il le reconstruit par insertions de zéros, filtrages et sommation.

Définition

Un banc de filtres (discrets) sous-échantillonnés à deux canaux convolue un signal a0 avec un filtre passe-bas h1[n] = h[-n] et un filtre passe-haut g1[n] = g[-n] et sous-échantillonne par deux les sorties:

a1 [n] = a0 * h1 [2n]
et
d1 [n] = a0* g1 [2n] .

Un signal reconstitué a2 s'obtient en filtrant les signaux dilatés par insertion de zéros par un filtre passe-bas dual h2 et un filtre passe-haut dual g2. En notant z(x) le signal obtenu à partir de x en insérant un zéro tous les deux échantillons, cela s'écrit:

a2 [n] = z(a1) * h2 [n] + z(d1) * g2 [n] .

La figure suivante résume le processus de décomposition et de reconstruction.

On dit qu'on a un banc de filtres à reconstruction parfaite quand a2 = a0 . Lorsqu'en plus h = h2 et g = g2, on parle de filtres miroirs conjugués.

Caractérisation

Les filtres à reconstruction parfaite sont caractérisés par le théorème de Vetterli. Dans le cas où les filtres sont à réponse impulsionnelle finie, les filtres g et g2 se déduisent des filtres h et h2, et on est ramené à la résolution de

où h et h2 sont des polynômes trigonométriques.

Ondelettes et fonctions d'échelle

Les ondelettes et fonctions d'échelles biorthogonales sont caractérisées par un banc de filtres à reconstruction parfaite; les ondelettes et fonctions d'échelles orthogonales sont caractérisées par une paire de filtres miroirs conjugués.

Construction

Dans le cas de filtres à réponse impulsionnelle finie, le calcul des filtres revient à la résolution de (1) sur des polynômes trigonométriques.

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