Utilisation des ondelettes : théorie


Il existe de nombreux ouvrages très précis sur les ondelettes, il n'est réalisé ici qu'une vue partielle de la théorie.
La théorie des ondelettes peut être vue en comparaison avec la théorie de Fourier.

Transformée en ondelettes :

 
La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la transformée de Fourier par une famille de translations et dilatations d'une même fonction, l'ondelette.

Les paramètres de translation et de dilatation sont les deux arguments de la transformée en ondelettes.
La transformée en ondelettes est définie par






où l'atome de base y est une une fonction de moyenne nulle, centrée au voisinage de 0 et d'énergie finie. La famille de vecteurs est obtenue par translation et dilatation de l'atome de base :

La fonction précédente est centrée au voisinage de u, comme l'atome de Fourier fenêtré. Si le centre de fréquence de y est h, le centre de fréquence de la fonction dilatée est en h/s.

L'écart-type en temps en proportionnel à s. L'écart-type en fréquence est inversement proportionnel à s. Voici une exemple de boîtes de Heisenberg d'atomes d'ondelettes:






Au échelles plus fines, on peut "entasser" plus de boîtes de Heisenberg côte à côte car la résolution temporelle est meilleure.
 

La transformée en ondelettes a donc une résolution temps-fréquence qui dépend de l'échelle s. Avec la condition :

elle est une représentation complète, stable et redondante du signal du signal; en particulier, la transformée en ondelettes est inversible à gauche. La redondance se traduit par l'existence d'un noyau reproduisant.
  La transformée en ondelettes se calcule par une transformée en ondelettes rapide. Celle-ci effectue une transformée discrète par des convolutions circulaires, elles-mêmes calculées par FFT.

Pour accélerer les calculs, on utilise souvent des ondelettes dyadiques. La transformée en ondelettes dyadiques s'implémente par des bancs de filtres.
 
 

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